Найти неопределенный интеграл:

\[\int \left(\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^3}{x^3}\right) dx.\]

Решение.

\(\begin{multline}
\int \left(\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^3}{x^3}\right) dx = \int\frac{a}{x}dx + \int\frac{a^2}{x^2}dx +\int\frac{a^3}{x^3}dx = \\
= a\int\frac{dx}{x} + a^2\int\frac{dx}{x^2} +a^3\int\frac{dx}{x^3} = a\ln |x| - \frac{a^2}{x} - \frac{a^3}{2x^2} + C.
\end{multline}\)

Проверка. Для проверки правильности вычислим производную найденного решения, и она должна равняться функции под знаком интеграла:

\(\begin{multline}
\left(a\ln |x| - \frac{a^2}{x} - \frac{a^3}{2x^2} + C\right)' = (a\ln |x|)' + (- \frac{a^2}{x})' + (- \frac{a^3}{2x^2})' + (C)' = \\
= a\frac{1}{x} - a^2 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} - \frac{a^3}{2} \cdot (-2) \cdot x^{-2-1} + 0 = \frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^3}{x^3}.
\end{multline}\)